有志による某国立高専某学科某クラスのページ。夏休み中の連絡とかにも使ってください。課題に迷ったらココ!
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課題11
積分の辺りが少し微妙というか打ち込み方がこれでいいのか全体的に微妙・・・
まあ自己責任でですよね。(記事最下部に追記あり)


[a]
時間を含まない定常状態のシュレディンガー方程式より、
エネルギーの固有方程式は、^Hu_{x}=Eu(x)であるから、
^Hu_{1}(x)=E_{1}u_{1},^Hu_{2}(x)=E_{2}u_{2}
従って、
^Hu_{c}(x)=^H{a_{1}u_{1}(x)+a_{2}u_{2}(x)}
=a_{1}(^H(x))u_{1}+a_{2}(^H)u_{2}(x)
=a_{1}E_{1}u_{1}(x)+a_{2}E_{2}u_{2}(x)
=a_{1}E_{1}u_{1}(x)+a_{1}E_{2}u_{1}(x)+a_{2}E_{1}u_{2}(x)a_{2}E_{2}u_{2}(x)
=(E_{1}+E_{2})(a_{1}u_{1}(x)+a_{2}u_{2}(x))
=E_{c}u_{c}

(ここで直交性より、E_{1}u_{2}(x)=E_{}u_{1}(x)=0を用いた)


[b]
規格化条件(int(ψ^{*}ψ)dxdydz=1)より、
int(u_{n}(x))^{*}(u_{n}(x))dx=1
int_{+∞}^{-∞}(C_{1}^{2}sin^{2}(k_{n}x)dx)
=C_{1}^{2}(int_{0}^{L}(sin^{2}(πnx/L)dx))
=C_{1}^{2}(int_{0}^{L}((1-cos(2πnx/L))dx/2))
=(C_{1}^{2}/2)*(x-(sin(2πnx/L)/(2πn/L)))[0,L]
=(C_{1}^{2}/2)*(L-sin(2nπ)/(2nπ/L))
=C_{1}^{2}L/2…(sin(2nπ)=0)

(C_{1}^{2}L/2)=1,C_{1}=±sqrt(2/L)
ここで正値を取り、C_{1}=sqrt(2/L)
波動関数は、
u_{n}(x)=sqrt(2/L)*sin(k_{n}x)
=sqrt(2/L)*sin(πnx/L)
(n=1,2,...)




 
本文は暇人が入力したものと思われるが、何となく入力方式に疑問が残るので、
俺(SRE)が訂正したのを載せてみます。どっちを使うかは自己責任でw

[a]
時間を含まない定常状態のシュレーディンガー方程式より、
エネルギーの固有値方程式は、Hu(x)=Eu(x)であるから、
Hu_{1}(x)=E_{1}u_{1}(x)、Hu_{2}(x)=E_{2}u_{2}(x)
従って、
Hu_{c}(x)=H{a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}}=a_{1}Hu_{1}(x)+a_{2}Hu_{2}(x)
=a_{1}E_{1}u_{1}(x)+a_{2}E_{2}u_{2}(x)
ここで、直交性よりE_{1}u_{2}(x)=E_{2}u_{1}(x)=0であるから、右辺に追加して、
Hu_{c}(x)=a_{1}E_{1}u_{1}(x)+a_{1}E_{2}u_{1}(x)+a_{2}E_{1}u_{2}(x)+a_{2}E_{2}u_{2}(x)
=(E_{1}+E_{2}){a_{1}u_{1}(x)+a_{2}u_{2}(x)}
=E_{c}u_{c}

[b]
規格化条件(intψ^{*}ψdxdydz=1)より、
箱の中の粒子の波動関数に関しての規格化条件は次式となり、
int{u_{n}(x)}^{*}{u_{n}(x)}dx=1・・・・・・(1)
左辺を積分して、
int^{+∞}_{-∞}C_{1}^{2}sin^{2}(k_{n}x)dx=C_{1}^{2}int^{L}_{0}sin^{2}(πnx/L)dx=C_{1}^{2}int^{L}_{0}((1-cos(2πnx/L))/2)dx
=(C_{1}^{2}/2)[x-((sin(2πnx/L))/(2πn/L))]^{L}_{0}=(C_{1}^{2}/2){L-(sin(2nπ)/(2nπ/L))}=C_{1}^{2}L/2,∵sin(2nπ)=0
従って、規格化条件(1)より、
C_{1}^{2}L/2=1,∴C_{1}=±sqrt(2/L)、ここで正値を取り、∴C_{1}=sqrt(2/L)
故に、波動関数は次式となる。
∴u_{n}(x)=sqrt(2/L)sin(k_{n}x)=sqrt(2/L)sin(πnx/L),n=1,2,・・・
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