有志による某国立高専某学科某クラスのページ。夏休み中の連絡とかにも使ってください。課題に迷ったらココ!
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課題12
【a】
・時間を含まない定常状態のシュレディンガー方程式より
{{-h^{2}/(2*m)}*{(d^{2}/(d*x^{2}))+(d^{2}/(d*y^{2}))+(d^{2}/(d*z^{2}))+U(x,y,z)}u(x,y,z)=E*u(x,y,z)

・箱の中のポテンシャル:U=0
・箱の中の波動関数:u(x,y,z)=C*sin(k_{x}*x)*sin(k_{y}*y)*sin(k_{z}*z)として
{{-h^{2}/(2*m)}*{(d^{2}/(d*x^{2}))+(d^{2}/(d*y^{2}))+(d^{2}/(d*z^{2}))+U(x,y,z)}u(x,y,z)
={-h^{2}/(2*m)}*{(d^{2}/(d*x^{2}))+(d^{2}/(d*y^{2}))+(d^{2}/(d*z^{2}))}*C*sin(k_{x}*x)*sin(k_{y}*y)*sin(k_{z}*z)
={-h^{2}/(2*m)}*{(d^{2}/(d*x^{2}))*C*sin(k_{x}*x)*sin(k_{y}*y)*sin(k_{z}*z)+(d^{2}/(d*y^{2}))*C*sin(k_{x}*x)*sin(k_{y}*y)*sin(k_{z}*z)+(d^{2}/(d*z^{2}))*C*sin(k_{x}*x)*sin(k_{y}*y)*sin(k_{z}*z)}
={-h^{2}/(2*m)}*(-k*x^{2}-k*y^{2}-k*z^{2})*C*sin(k_{x}*x)*sin(k_{y}*y)*sin(k_{z}*z)
={h^{2}/(2*m)}*(k*x^{2}+k*y^{2}+k*z^{2})*u(x,y,z)
=E*u(x,y,z)

よって
・E={h^{2}/(2*m)}*(k*x^{2}+k*y^{2}+k*z^{2}).....//

【b】
・問題の一般解を微分して、
1階):(du)/(dr)=(d/dr)*{A*exp(-Cr)}=-C*A*exp(-Cr)=-Cu
2階):(d^{2}*u/d*r^{2})*(d/dr)*(du/dr)=(d/dr)*{-C*A*exp(-Cr)}=C^{2}*u

・この解をシュレディンガー方程式に代入して、
{{h^{2}/(2*m_{e})}*(C^[2]+(2/r)*(-C))+(E+(e^{2}/(4*π*ε_{0}*r)))}*u(r)=0
{(h^{2}*C^{2}/(2*m_{e})+E)+((e^{2}/(4*π*ε_{0}))-((h^{2}*C)/m_{e}))*(1/r)}*u(r)=0

・任意のu(r)に対して成立させるためには、各()=0になる必要があるの

・左辺第二項より、
((e^{2}/(4*π*ε_{0}))-((h^{2}*C)/m_{e}))=0
.....C=(m_{e}*e^{2})/(4*π*ε_{0}*h^{2})

・左辺第一項より、
(h^{2}*C^{2}/(2*m_{e})+E)=0
.....E=-(h^{2}*C^{2})/(2*m_{e})=-(m_{e}*e^{4})/(2(4*π*ε_{0})^{2}*h^{2})

とすれば、シュレディンガー方程式満たすことができる。   //
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