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by m0511xx
有志による某国立高専某学科某クラスのページ。夏休み中の連絡とかにも使ってください。課題に迷ったらココ!
課題04
これだけ打ち込んだら誤字脱字あると思われるのでご了承願いたい。

[a]
分子の運度エネルギー:1/2mv^{2}で、速さ空間での平均の定義より、

1/2mv^{2}=(int_{0}^{∞}(1/2mv^{2}))/(int_{0}^{∞}(dN^{2}))
1/2mv^{2}=N(m/2πk_{B}T)^{3/2}(int_{0}^{∞}(mv^{2}/2)exp(-mv^{2}/2k_{B}T)4πv^{2}dv)/
N(m/2πk_{B}T)^{3/2}(int_{0}^{∞}exp(-mv^{2}/2k_{B}T)4πv^{2}dv)
=m/2((int_{0}^{∞}v^{4}exp(-mv^{2}/2k_{B})dv)/(int_{0}^{∞}v^{2}exp(-mv^{2}/2k_{B})dv))

数学公式より
int_{0}^{+∞}(x^{2n}exp(-ax^{2}))dx=(1*3*...*(2n-1)/(2a)^{n})*(sqrt(π/a)/2)
int_{0}^{+∞}(x^{2}exp(-ax^{2}))dx=sqrt(π/a)/4a
int_{0}^{+∞}(x^{4}exp(-ax^{2}))dx=3sqrt(π/a)/(8a^{2})

a=m/2k_{B}T

従って

1/2mv^{2}=m/2((int_{0}^{∞}v^{4}exp(-mv^{2}/2k_{B})dv)/(int_{0}^{∞}v^{2}exp(-mv^{2}/2k_{B})dv))
=m/2((3sqrt(π/a)/(8a^{2}))/(sqrt(π/a)/4a))
=m/2((3sqrt(π/(m/2k_{B}T))/(8a^{2}))/(sqrt(π/(m/2k_{B}T))/4a))
=(m/2)(12a/8a^{2})
=(3m/4a)
=(3m/4)(2k_{B}T/m)
=3k_{B}T/2

[b]誰かお願いします。