有志による某国立高専某学科某クラスのページ。夏休み中の連絡とかにも使ってください。課題に迷ったらココ!
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カテゴリ:応用物理( 26 )
課題09
今回は[b]、[C]の解答が自分でやったのと教科書の解き方で少し違ってましたが、まあ問題ないと思います。不安なら自分で直しましょう自己責任ですからね。

[a]
f=1/(2πsqrt(LC)),L=L_{1}+L_{2}+2Mより、
C=1/((2π)^{2}f^{2}(L=L_{1}+L_{2}+2M))
=1/((2π)^{2}*(100*10^{3})^{2}*(60.0*10^{-6}+8.0*10^{-6}+2*6.0*10^{-6}))
=3.17*10^{-8}[F]
=0.032[μF]

[b]
誘導リアクタンス、ピアースB-E回路

[C]
上側波帯は950.000*10^{3}+100=951.000[kHz]から
950.000*10^{3}+8000=958.000[kHz]
下側波帯は950.000*10^{3}-8000=942.000[kHz]から
950.000*10^{3}-100=949.000[kHz]

占有周波帯域は
f_{BW}=(f_{c}+f_{s})-(f_{c}-f_{s})=2f_{s}より、
F_{BW}=2*8000=16.000[kHz]

[d]
①超小型で軽量、②信号処理の高速化が図れる、③低価格
④信頼性が高い、⑤消費電力が少ない
[PR]
課題13
どうもalthoughことツクねです。
一部表記等異なる部分があるかもしれません。俺は括弧を多用するのが好きです。

1.
原子核からの距離r~(r+dr)の間に電子を見出す確立:P
P∝{R_{nl}(r)}^{2}*4πr^{2}dr
水素原子のIS電子の波動関数
R_{nl}(r)=u_{1,0,0}=1/(sqrt(π)*a_{0}^{3/2})*exp(-r/a_{0})=C*exp(-r/a_{0})
として電子を見出す確立の最大条件はdP/dt=0であるから
dP/dr=(d/dr)({R_{nl}(r)}^{2}*4πr^{2})
=(d/dr)({C*exp(-r/a_{0})}^{2}*4πr^{2})
=4πC^{2}(d/dr){{exp(r/a_{0})}^{2}*r^{2}}
=4πC^{2}(d/dr){r^{2}*exp(-2r/a_{0})}
=4πC^{2}(2r*exp(-r/a_{0})+(r^{2}*(-2/a_{0})exp(-2r/a_{0})))
=4πC^{2}*(2-(2r/a_{0}))r*exp(-2r/a_{0})
=0
∴2-(2r/a_{0})=0
r=a_{0}
水素原子の1s電子を見出す確立は、ボーア半径a_{0}で最大となる。

2.
軌道角運動量演算子^L^{2}の固有値l(l+1)~h^{2}より
軌道角運動量ベクトルLの大きさLはL=|L|=sqrt(L^{2})=sqrt(l(l+1))*~h=sqrt(2)~h
起動磁気量子数m_{l}はn>l≧|m_{l}|より
m_{l}=-1,0,1…(整数)
軌道角運動量演算子^L_{z}の固有値m_{l}~hより
軌道角運動量ベクトルLのz方向成分L_{z}はL_{z}=m_{l}~h
∴L_{z}=-~h,0,~h
3方向に限定される。

3.
スピン量子数sは固有値数2s+1=2よりs=1/2
スピン角運動量演算子^s^{2}の固有値s(s+1)~h^{2}よりスピン角運動量の大きさsは
s=sqrt(s(s+1))*~h=(sqrt(3)/2)~h
スピン磁気量子数m_{s}は|m_{s}|≦sよりm_{s}=±1/2 (半整数)
スピン角運動量演算子^s_{z}の固有値m_{s}~hよりスピン角運動量のz成分s_{z}は
s_{z}=m_{s}~h=±1/2~h

4.
一般の電子のエネルギー準位は1s,2s,2p,3s,3p,4s,3d,4p,5s,4d,5p,6s,4f,5d,6p,7s,5f,6d
ゲルマニウムGe(Z=32)の電子配置
1s^{2},2s^{2},2p^{6},3s^{6},3d^{10},4s^{2},4p^{2}
であるからゲルマニウムGeのエネルギー準位は以下のようになる
1s,2s,2p,3s,3p,4s,3d,4p
[PR]
課題12
【a】
・時間を含まない定常状態のシュレディンガー方程式より
{{-h^{2}/(2*m)}*{(d^{2}/(d*x^{2}))+(d^{2}/(d*y^{2}))+(d^{2}/(d*z^{2}))+U(x,y,z)}u(x,y,z)=E*u(x,y,z)

・箱の中のポテンシャル:U=0
・箱の中の波動関数:u(x,y,z)=C*sin(k_{x}*x)*sin(k_{y}*y)*sin(k_{z}*z)として
{{-h^{2}/(2*m)}*{(d^{2}/(d*x^{2}))+(d^{2}/(d*y^{2}))+(d^{2}/(d*z^{2}))+U(x,y,z)}u(x,y,z)
={-h^{2}/(2*m)}*{(d^{2}/(d*x^{2}))+(d^{2}/(d*y^{2}))+(d^{2}/(d*z^{2}))}*C*sin(k_{x}*x)*sin(k_{y}*y)*sin(k_{z}*z)
={-h^{2}/(2*m)}*{(d^{2}/(d*x^{2}))*C*sin(k_{x}*x)*sin(k_{y}*y)*sin(k_{z}*z)+(d^{2}/(d*y^{2}))*C*sin(k_{x}*x)*sin(k_{y}*y)*sin(k_{z}*z)+(d^{2}/(d*z^{2}))*C*sin(k_{x}*x)*sin(k_{y}*y)*sin(k_{z}*z)}
={-h^{2}/(2*m)}*(-k*x^{2}-k*y^{2}-k*z^{2})*C*sin(k_{x}*x)*sin(k_{y}*y)*sin(k_{z}*z)
={h^{2}/(2*m)}*(k*x^{2}+k*y^{2}+k*z^{2})*u(x,y,z)
=E*u(x,y,z)

よって
・E={h^{2}/(2*m)}*(k*x^{2}+k*y^{2}+k*z^{2}).....//

【b】
・問題の一般解を微分して、
1階):(du)/(dr)=(d/dr)*{A*exp(-Cr)}=-C*A*exp(-Cr)=-Cu
2階):(d^{2}*u/d*r^{2})*(d/dr)*(du/dr)=(d/dr)*{-C*A*exp(-Cr)}=C^{2}*u

・この解をシュレディンガー方程式に代入して、
{{h^{2}/(2*m_{e})}*(C^[2]+(2/r)*(-C))+(E+(e^{2}/(4*π*ε_{0}*r)))}*u(r)=0
{(h^{2}*C^{2}/(2*m_{e})+E)+((e^{2}/(4*π*ε_{0}))-((h^{2}*C)/m_{e}))*(1/r)}*u(r)=0

・任意のu(r)に対して成立させるためには、各()=0になる必要があるの

・左辺第二項より、
((e^{2}/(4*π*ε_{0}))-((h^{2}*C)/m_{e}))=0
.....C=(m_{e}*e^{2})/(4*π*ε_{0}*h^{2})

・左辺第一項より、
(h^{2}*C^{2}/(2*m_{e})+E)=0
.....E=-(h^{2}*C^{2})/(2*m_{e})=-(m_{e}*e^{4})/(2(4*π*ε_{0})^{2}*h^{2})

とすれば、シュレディンガー方程式満たすことができる。   //
[PR]
課題11
積分の辺りが少し微妙というか打ち込み方がこれでいいのか全体的に微妙・・・
まあ自己責任でですよね。(記事最下部に追記あり)


[a]
時間を含まない定常状態のシュレディンガー方程式より、
エネルギーの固有方程式は、^Hu_{x}=Eu(x)であるから、
^Hu_{1}(x)=E_{1}u_{1},^Hu_{2}(x)=E_{2}u_{2}
従って、
^Hu_{c}(x)=^H{a_{1}u_{1}(x)+a_{2}u_{2}(x)}
=a_{1}(^H(x))u_{1}+a_{2}(^H)u_{2}(x)
=a_{1}E_{1}u_{1}(x)+a_{2}E_{2}u_{2}(x)
=a_{1}E_{1}u_{1}(x)+a_{1}E_{2}u_{1}(x)+a_{2}E_{1}u_{2}(x)a_{2}E_{2}u_{2}(x)
=(E_{1}+E_{2})(a_{1}u_{1}(x)+a_{2}u_{2}(x))
=E_{c}u_{c}

(ここで直交性より、E_{1}u_{2}(x)=E_{}u_{1}(x)=0を用いた)


[b]
規格化条件(int(ψ^{*}ψ)dxdydz=1)より、
int(u_{n}(x))^{*}(u_{n}(x))dx=1
int_{+∞}^{-∞}(C_{1}^{2}sin^{2}(k_{n}x)dx)
=C_{1}^{2}(int_{0}^{L}(sin^{2}(πnx/L)dx))
=C_{1}^{2}(int_{0}^{L}((1-cos(2πnx/L))dx/2))
=(C_{1}^{2}/2)*(x-(sin(2πnx/L)/(2πn/L)))[0,L]
=(C_{1}^{2}/2)*(L-sin(2nπ)/(2nπ/L))
=C_{1}^{2}L/2…(sin(2nπ)=0)

(C_{1}^{2}L/2)=1,C_{1}=±sqrt(2/L)
ここで正値を取り、C_{1}=sqrt(2/L)
波動関数は、
u_{n}(x)=sqrt(2/L)*sin(k_{n}x)
=sqrt(2/L)*sin(πnx/L)
(n=1,2,...)

追記。
[PR]
課題10
[a]
(1)
電子の運動量:P=mv、電子の静止質量:m_{e}より、
電子の相対論における質量の式より、m=m_{e}/sqrt(1-(v/c)^{2})
従って、運動量p=mvは
P=m_{e}v/sqrt(1-(v/c)^{2})
=9.109*10^{-31}*1.0*10^{8}/sqrt(1-(1.0*10^{8}/2.998*10^{8})^{2})
=9.662*10^{-23}[Ns]

(2)
電子の物質の波長:λとして、
物質波は光子の運動量に相当する波動性を持つから、
物質派の式よりp=h/λ=hγ/c (h=6.626*10{-34}[Js])
λ=h/p=h(sqrt(1-(v/c)^{2}))/(m_{e}v)
=6.626*10{-34}*sqrt(1-(1.0*10^{8}/2.998*10^{8})^{2})/(9.109*10^{-31}*1.0*10^{8})
=6.858*10^{-12}[m]

[b]
交換演算子を任意関数φ(x)に作用させ、
[x,∂/∂x]φ(x)=(x(∂/∂x)-(∂/∂x)x)φ(x)=x(∂/∂x)φ(x)-(∂/∂x)(xφ(x))
=x(∂φ(x)/∂x)-[(∂x/∂x)φ(x)+x(∂φ(x)/∂x)]
=x(∂φ(x)/∂x)-φ(x)-x(∂φ(x)/∂x)=-φ(x)
となるから両辺を比較して、[x,∂/∂x]=-1

[c]
不確定性原理より、⊿x⊿px>=h (⊿E⊿t>=h)
運動量の不確定さ(x成分):⊿p_{x}=m⊿v_{x}
位置の不確定さ(x成分):⊿xとして、
⊿x>=h/⊿p_{x}=h/m⊿v_{x}=6.626*10^{-34}/(10^{-3}*10^{-8})
=6.626*10^{-23}[m]
[PR]
課題09 (提出期間開始日:1月11日)
ども、SREです。冬休みに突入して数日経ちましたが如何お過ごしでしょうか?
気が早いですが、早めに入力しておいた方が便利だろうと思い、課題09を書いておきます。
ちなみに課題09の授業日は新年1月11日なので・・・入力はそれ以降可能です。
年明け締切の課題08は下にあります。

[a]
光子の個数:n として、光子のエネルギーの式(E=hν=hc/λ)より、
E=nhν=nhc/λ
n=(Eλ)/(hc)=(1*10^{-18}*600*10^{-9})/(6.62606876*10^{-34}*299792458)=3.02≒3個

[b]
光電効果の光電子の運動エネルギーの最大値の式(K_{max}=hν-W=((hc)/λ)-W≧0)より、∴(hc)/λ≧W
λ≦λ_{0}で光電効果が起こる条件より、(hc)/λ≧(hc)/λ_{0}であるから、
W=(hc)/λ_{0}=(6.62606876*10^{-34}*299792458)/(540*10^{-9})=3.679*10^{-19}≒3.68*10^{-19}[J]
(W=(3.679*10^{-19})/(1.602176462*10^{-19})=2.296≒2.30[eV])

[c]
(1)
散乱波の波長: λ として、コンプトン散乱の式より、
λ=λ_{0}+(h/(m_{e}c))(1-cosφ)
=7.09*10^{-11}+((6.62606876*10^{-34})/(9.10938188*10^{-19}*299792458))*(1-cos60.0°)
=7.09*10^{-9}+2.42631021*10^{-12}*(1-0.500)
=(7.09+0.121315511)*10^{-11}=7.211*10^{-11}≅7.21*10^{-11}[m]

(2)
反跳電子の運動エネルギー:K として、
電子の相対論における全エネルギーの式(E=mc^{2}=m_{e}c^{2}+K)より、
∴K=mc^{2}-m_{e}c^{2}=(m_{e}c^{2})/(sqrt(1-(v/c)^{2}))-m_{e}c^{2}・・・(1)
コンプトン散乱における光子(X 線量子)と電子のエネルギー保存則より、
(hc)/λ_{0}+m_{e}c^{2}=(hc)/λ*mc^{2}=((hc)/λ)*(m_{e}c^{2})/(sqrt(1-(v/c)^{2}))
∴(hc)/λ_{0}-(hc)/λ=(m_{e}c^{2})/(sqrt(1-(v/c)^{2}))-m_{e}c^{2}・・・(2)
従って、(1), (2)より、
K=mc^{2}-m_{e}c^{2}=(hc)/λ_{0}-(hc)/λ=hc*((1/λ_{0})-(1/λ))
=6.62606876^{-34}*299792458*((1/7.09*10^{-11})-(1/7.211*10^{-11}))=4.701*10^{-17}≅4.70*10^{-17}[J]

たぶん合ってると思いますが、もし間違っていたら訂正しといてください。ではよいお年を。
[PR]
課題08
[a]
X線の波長:λ=1.5418*10^{-10},一次の回折角:θ=57.8[°]
ブラッグの回折条件より、(⊿=2dsinθm=2mλ/2, m=1,2,...)
2dsinm=2mλ/2
d=mλ/2sinθm=1*1.5418*10^{-10}/(2*sin57.8)
=8.1198 × 10^{-11}[m]

[b]
α粒子の電荷:+2e,Auの原子核の電荷:+Ze
無限遠:運動エネルギー:K_{∞}=(1/2)m_{α}V^{2}
位置エネルギー:U_{∞}=0
最接近:運動エネルギー:K_{0}=0
位置エネルギー:U_{0}=(1/4πε_{0})(2e)(Ze)/r_{0}
=2Ze^{2}/4πε_{0}r_{0}

エネルギー保存則より、E=K_{∞}+U_{∞}=K_{0}+U_{0}
(1/2)m_{α}V^{2}=2Ze^{2}/4πε_{0}r_{0}

r_{0}=4Ze^{2}/4πε_{0}m_{α}V^{2}
=(1/4πε_{0})(4Ze^{2}/m_{α}V^{2})
=9.0*10^{9}*4*79*(1.6*10^{-19})^{2}/(6.7*10^{-27}*(1.6*10^{7})^{2})
=4.2*10^{-14}[m]
最接近距離:r_{0}=4.2*10^{-14}[m]
[PR]
課題07
間に合うか・・・
[a]
(1)
全エネルギーと静止エネルギー・運動エネルギーの関係式より、
m_{0}C^{2}+K=mc^{2}=E
電子の静止質量m_{e}を用いて、
E=mc^{2}+K=9.1094*10^{-31}*(2.9979*10^{8})^{2}+10.000*10^{6}*1.60218*10^{-19}
=2.54*10^{27}[J]

(2)
全エネルギーと質量との関係式E=mc^{2}=m_{0}c/sqrt(1-(v/c)^{2})より、
m=E/c^{2}=m_{e}c^{2}+K/c^{2}=1.6840*10^{-12}/(2.9979*10^{8})^{2}
=1.87*10^{-29}[kg]

(3)
運動エネルギーとの関係式より、P=sqrt(2m_{0}K(1+k/2m_{0}c^{2}))
P=sqrt(2*9.1094*10^{-31}*10.000*10^{6}*1.60218*10^{-19}
*(1+10.000*10^{6}*1.60218*10^{-19}/(2*9.1094*10^{-31}*(2.9979*10^{8})^{2})))
=1.70850218*10^{-21}
*sqrt(1+10.000*10^{6}*1.60218*10^{-19}/(2*9.1094*10^{-31}*(2.9979*10^{8})^{2})))
=1.70850218*10^{-21}*3.28404011
=5.61*10^{-21}[m*kg/s]

(4)
V=P/m=5.6107*10^{-21}/1.873*10^{-29}=299556861*10^{8}[m/s]

(5)
電子の静止質量m_{e}より、m=m_{e}/sqrt(1-(V/c)^{2})
m_{e}/m=sqrt(1-(V/c)^{2}),(m_{e}/m)^{2}=1-(V/c)^{2}
(V/c)^{2}=1-(m_{e}/m)^{2},(V/c)=sqrt(1-(m_{e}/m)^{2})
V=Csqrt(1-(m_{e}/m)^{2})=2.9979*10^{8}*sqrt(1-(9.1094*10^{-31}/(1.8373*10^{-29})^{2}))
=2.92266073*10^{8}[m/s]
[PR]
課題06
もちろん自己責任で!だよね・・・。

[a]
静止系Sでの長さ:L_{0}、運動系S'での長さ:L、運動系の速さ:v=0.90c
相対論における座標間隔(長さの式)L=L_{0}sqrt(1-(v/c)^{2})より、
L=L_{0}sqrt(1-(v/c)^{2})
L/L_{0}=L=sqrt(1-(0.90c/c)^{2})=sqrt(1-0.90^{2})=0.436
よって43.6[%]

[b]
粒子の寿命=生成時刻と消滅時刻の時間間隔
静止系Sでの寿命:T_{0}=1.0*10^{-7}[s]
運動系S'での寿命:T、運動系の速さ:v=0.99c
相対論における時間間隔の式T=T_{0}/sqrt(1-(v/c)^{2})より、
T=T_{0}/sqrt(1-(v/c)^{2})=T_{0}/sqrt(1-(0.99c/c)^{2})
=1.0*10^{-7}/sqrt(1-(0.99)^{2})=7.09*10^{-7}[s]

[c]
静止系S(地上):
粒子の質量:m、速さv_{x}=v
運動系S'(静止系Sに対してx方向の向きに速さvで運動):
粒子の質量:m_{0}、速さ:v'_{x}=0
相対論における質量の式:m=m_{0}/sqrt(1-(v/c)^{2})より、
m/m_{0}=1/sqrt(1-(v/c)^{2})
=1/sqrt(1-(0.800)^{2})=1.6666666=5/3
[PR]
課題05
文章量が鬼なので毎度のことですが
間違ってないとは言い切れないのでその辺自己責任で!
特に大文字と小文字の区別とか。

[a]
(1)
高温熱源の温度:T_{1} t_{1}=20[℃] T_{1}=273.15+20=293[K]
低温熱源の温度:T_{2} t_{2}=5[℃] T_{2}=273.15+5=278[K]

(2)
高温熱源に単位時間に放出する熱:q_{1}=1.0[kW]、外部から単位時間に加えるエネルギー(仕事率):Wより、
低温熱源から単位時間に吸収する熱:q_{1}=q_{2}+W …q_{2}=q_{1}-W
(カルノーの機関の仕事よりW=q_{1}-q_{2})

(3)
熱機関の効率:η=W/q_{1}、カルノーの熱機関の効率:η_{c}=(T_{1}-T_{2})/T_{1}
したがって、η=η_{c}より、W/q_{1}=(T_{1}-T_{2})/T_{1}となる。
Wについて解いて、W=(T_{1}-T_{2})q_{1}/T_{1}
W=(T_{1}-T_{2})q_{1}/T_{1}=(293-278)*1.0*10^{3}/293=51.2[W]

[b]
(1)
気体の定積モル比熱:C_{V}、気体モル数:n、容器体積:V、容器初期温度:T_{1},T_{2}、
容器最終温度(熱平衡):T_{0}=(T_{1}+T_{2})/2として、熱力学第1法則より、dU=dQ+dW=DQ-PdV
理想気体の状態方程式より、PV=nRT
内部エネルギーの微小変化の式より、dU=(∂U/∂T)vdT=nC_{V}dT
エントロピーの微小変化の式(ds=dQ/T)に代入して、
ds=dQ/T=(dV+PdV)/T=(nC_{V}dT+(nRT/V)dV)/T=nC_{V}dT/T+nRdV/V

(2)
基準温度:T_{∞}として、
S=int_{T_{∞}}^{T_{1}}dS=n(int_{T_{∞}}^{T_{1}}(C_{V}dT/T+RdV/V))
=nC_{V}(lnT-lnT_{∞})+nR(lnV-lnV)
したがってエントロピー変化は、
温度:T_{1},T_{2},T_{0}におけるエントロピー:S_{1},S_{2},s_{0}とすれば、
T_{∞}は相殺され、
⊿S=S_{0}-(S_{1}-S_{2})=2nC_{V}lnT_{0}-(nC_{V}lnT_{1}+nC_{V}lnT_{2})
=nC_{V}(2ln((T_{1}+T_{2})/2)-lnT_{1}-lnT_{2})
=nC_{V}(ln((T_{1}+T_{2})/2)^{2}-lnT_{1}-lnT_{2})
=nC_{V}ln((T_{1}+T_{2})^{2}/4T_{1}T_{2})
恒等式(T_{1}-T_{2})^{2}=(T_{1}+T_{2})^{2}-4T_{1}T_{2}>0より、
(T_{1}-T_{2})^{2}/4T_{1}T_{2}=((T_{1}+T_{2})^{2}/4T_{1}T_{2})-1>0
(T_{1}+T_{2})^{2}/4T_{1}T_{2}>1
⊿S=nC_{V}ln((T_{1}+T_{2})^{2}/4T_{1}T_{2})>0
[PR]