有志による某国立高専某学科某クラスのページ。夏休み中の連絡とかにも使ってください。課題に迷ったらココ!
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課題06
もちろん自己責任で!だよね・・・。

[a]
静止系Sでの長さ:L_{0}、運動系S'での長さ:L、運動系の速さ:v=0.90c
相対論における座標間隔(長さの式)L=L_{0}sqrt(1-(v/c)^{2})より、
L=L_{0}sqrt(1-(v/c)^{2})
L/L_{0}=L=sqrt(1-(0.90c/c)^{2})=sqrt(1-0.90^{2})=0.436
よって43.6[%]

[b]
粒子の寿命=生成時刻と消滅時刻の時間間隔
静止系Sでの寿命:T_{0}=1.0*10^{-7}[s]
運動系S'での寿命:T、運動系の速さ:v=0.99c
相対論における時間間隔の式T=T_{0}/sqrt(1-(v/c)^{2})より、
T=T_{0}/sqrt(1-(v/c)^{2})=T_{0}/sqrt(1-(0.99c/c)^{2})
=1.0*10^{-7}/sqrt(1-(0.99)^{2})=7.09*10^{-7}[s]

[c]
静止系S(地上):
粒子の質量:m、速さv_{x}=v
運動系S'(静止系Sに対してx方向の向きに速さvで運動):
粒子の質量:m_{0}、速さ:v'_{x}=0
相対論における質量の式:m=m_{0}/sqrt(1-(v/c)^{2})より、
m/m_{0}=1/sqrt(1-(v/c)^{2})
=1/sqrt(1-(0.800)^{2})=1.6666666=5/3
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課題05
文章量が鬼なので毎度のことですが
間違ってないとは言い切れないのでその辺自己責任で!
特に大文字と小文字の区別とか。

[a]
(1)
高温熱源の温度:T_{1} t_{1}=20[℃] T_{1}=273.15+20=293[K]
低温熱源の温度:T_{2} t_{2}=5[℃] T_{2}=273.15+5=278[K]

(2)
高温熱源に単位時間に放出する熱:q_{1}=1.0[kW]、外部から単位時間に加えるエネルギー(仕事率):Wより、
低温熱源から単位時間に吸収する熱:q_{1}=q_{2}+W …q_{2}=q_{1}-W
(カルノーの機関の仕事よりW=q_{1}-q_{2})

(3)
熱機関の効率:η=W/q_{1}、カルノーの熱機関の効率:η_{c}=(T_{1}-T_{2})/T_{1}
したがって、η=η_{c}より、W/q_{1}=(T_{1}-T_{2})/T_{1}となる。
Wについて解いて、W=(T_{1}-T_{2})q_{1}/T_{1}
W=(T_{1}-T_{2})q_{1}/T_{1}=(293-278)*1.0*10^{3}/293=51.2[W]

[b]
(1)
気体の定積モル比熱:C_{V}、気体モル数:n、容器体積:V、容器初期温度:T_{1},T_{2}、
容器最終温度(熱平衡):T_{0}=(T_{1}+T_{2})/2として、熱力学第1法則より、dU=dQ+dW=DQ-PdV
理想気体の状態方程式より、PV=nRT
内部エネルギーの微小変化の式より、dU=(∂U/∂T)vdT=nC_{V}dT
エントロピーの微小変化の式(ds=dQ/T)に代入して、
ds=dQ/T=(dV+PdV)/T=(nC_{V}dT+(nRT/V)dV)/T=nC_{V}dT/T+nRdV/V

(2)
基準温度:T_{∞}として、
S=int_{T_{∞}}^{T_{1}}dS=n(int_{T_{∞}}^{T_{1}}(C_{V}dT/T+RdV/V))
=nC_{V}(lnT-lnT_{∞})+nR(lnV-lnV)
したがってエントロピー変化は、
温度:T_{1},T_{2},T_{0}におけるエントロピー:S_{1},S_{2},s_{0}とすれば、
T_{∞}は相殺され、
⊿S=S_{0}-(S_{1}-S_{2})=2nC_{V}lnT_{0}-(nC_{V}lnT_{1}+nC_{V}lnT_{2})
=nC_{V}(2ln((T_{1}+T_{2})/2)-lnT_{1}-lnT_{2})
=nC_{V}(ln((T_{1}+T_{2})/2)^{2}-lnT_{1}-lnT_{2})
=nC_{V}ln((T_{1}+T_{2})^{2}/4T_{1}T_{2})
恒等式(T_{1}-T_{2})^{2}=(T_{1}+T_{2})^{2}-4T_{1}T_{2}>0より、
(T_{1}-T_{2})^{2}/4T_{1}T_{2}=((T_{1}+T_{2})^{2}/4T_{1}T_{2})-1>0
(T_{1}+T_{2})^{2}/4T_{1}T_{2}>1
⊿S=nC_{V}ln((T_{1}+T_{2})^{2}/4T_{1}T_{2})>0
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課題4 [b]
はじめまして。こんにちは。こんばんは。
どうも。MDMAです。
このブログを頼りにしてたのですが…
課題4が、まさかの未完成だったので自分で打ちました。
もちろん正確ではないでしょうが、少しでも入力の手間を省けたら、と。

[b]
等温変化(準静的過程)より、T=const.(dT=0)となる。
初期体積:V、初期圧力:P
最終体積:V'=V/2、最終圧力:P'として、
○等温変化で理想気体が外部から成された仕事:W
理想気体の状態方程式より、PV=nRT ∴P=nRT/V
W=-int_{V}^{V'}PdV =-int_{V}^{V'}(nRT/V)dV =-nRTln(V'-V)
=-nRTln(V'/V) =nRTln(V/V')
∴W=nRTln(V/V') =nRTln(V/(V/2)) =nRTln2 =PVln2
○最終圧力;P'
理想気体の状態方程式より、PV=nRT
PV=P'V'=nRT=const.
∴P'=(V/V')P=VP/(V/2)=2P

これであってますよね?
ご使用は自己責任で。
次回からは自分じゃない誰かがここに書いてくれると信じてます。

そういえば、今回の期限は21日までになってましたね。
まだの人もあきらめずにどうぞ。
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課題04
これだけ打ち込んだら誤字脱字あると思われるのでご了承願いたい。

[a]
分子の運度エネルギー:1/2mv^{2}で、速さ空間での平均の定義より、

1/2mv^{2}=(int_{0}^{∞}(1/2mv^{2}))/(int_{0}^{∞}(dN^{2}))
1/2mv^{2}=N(m/2πk_{B}T)^{3/2}(int_{0}^{∞}(mv^{2}/2)exp(-mv^{2}/2k_{B}T)4πv^{2}dv)/
N(m/2πk_{B}T)^{3/2}(int_{0}^{∞}exp(-mv^{2}/2k_{B}T)4πv^{2}dv)
=m/2((int_{0}^{∞}v^{4}exp(-mv^{2}/2k_{B})dv)/(int_{0}^{∞}v^{2}exp(-mv^{2}/2k_{B})dv))

数学公式より
int_{0}^{+∞}(x^{2n}exp(-ax^{2}))dx=(1*3*...*(2n-1)/(2a)^{n})*(sqrt(π/a)/2)
int_{0}^{+∞}(x^{2}exp(-ax^{2}))dx=sqrt(π/a)/4a
int_{0}^{+∞}(x^{4}exp(-ax^{2}))dx=3sqrt(π/a)/(8a^{2})

a=m/2k_{B}T

従って

1/2mv^{2}=m/2((int_{0}^{∞}v^{4}exp(-mv^{2}/2k_{B})dv)/(int_{0}^{∞}v^{2}exp(-mv^{2}/2k_{B})dv))
=m/2((3sqrt(π/a)/(8a^{2}))/(sqrt(π/a)/4a))
=m/2((3sqrt(π/(m/2k_{B}T))/(8a^{2}))/(sqrt(π/(m/2k_{B}T))/4a))
=(m/2)(12a/8a^{2})
=(3m/4a)
=(3m/4)(2k_{B}T/m)
=3k_{B}T/2

[b]誰かお願いします。
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課題03
掲載が予定していたよりかなり遅れてしまいましたね。
答え、誤字脱字の確認は各自で。[a]の(a)にいたっては問題文そのものが怪しい・・・

[a]
(a)
酸素:O_{2}=32 の質量
m=M/N_{A}=(1.00*2*16*10^{-3})/(6.02214199*10^{23})
=5.31*10^{-26}[kg]

(b)
温度:T=0+273.15[K]、標高:x=2702[m]、 重力加速度:g、 ボルツマン定数:k_{B}
として、重力場の分子密度の式より、標高0[m]における分子密度:Cより、
標高xでの比率は、
P_{n}/C=exp(-mgx/k_{B}T)
=exp((-5.31*10^{-26}[kg]*g[m/s^{2}]*2702[m])/(1.3806503*10^{-23}[JK^{-1}]*273[K]))
=-1.01*10^{26}

[b]
(a)
O各分子の平行自由工程:l_{O_{2}},l_{He}として、圧力:P=1.0*10^{5}[Pa]
温度:T=20[℃]=293.15[K]
O_{2}分子直径:D_{O_{2}}=3.6*10^{-10}[m](二原子分子)
He分子直径:D_{He}=2.3*10^{-10}[m](単原子分子)
気体分子の平均自由工程(温度、圧力)の式:l=k_{B}T/(sqrt(2)πD^{2}P)より
l_{O_{2}}=k_{B}T/(sqrt(2)πD_{O_{2}}^{2}P)
=(1.38*10^{-23}*293.15)/(1.41*3.14*(3.6*10^{-10})^{2}*1.0*10^{5})=7.029*10^{-8}[m]
=7.0*10^{-8}[m]

l_{He}=k_{B}T/(sqrt(2)πD_{He}^{2}P)
=(1.38*10^{-23}*293.15)/(1.41*3.14*(2.3*10^{-10})^{2}*1.0*10^{5})=1.727*10^{-7}[m]
=1.73*10^{-7}[m]

(b)
O各分子の圧力P_{O_{2}},P_{He}として、平均自由工程:l=1.0[m]
気体分子の平均自由工程(温度圧力)の式を圧力について解いて、
P=k_{B}T/(sqrt(2)πD^{2}l)
P_{O_{2}}=k_{B}T/(sqrt(2)πD_{O_{2}}^{2}l)
=(1.38*10^{-23}*293.15)/(1.41*3.14*(3.6*10^{-10})^{2}*1.0)=0.007050[Pa]
=7.05*10^{-4}[Pa]

P_{He}=k_{B}T/(sqrt(2)πD_{He}^{2}l)
=(1.38*10^{-23}*293.15)/(1.41*3.14*(2.3*10^{-10})^{2}*1.0)=0.01727[pa]
=1.73*10^{-3}[Pa]
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